第二到第三步中的(1＋x2)为什么不能当x趋近于0时直接等于1呢？这样算出来后完全不一样了。。。

不好意思，这是原题

因为是加减法，不能直接用等价无穷小替代，要是这么说我用acrtanx代替x/(1+x^2)直接就分子等于0了，x/(1+x^2)和x相比，Taylor展开式中一阶项是一样的，都是x，但高阶项是不一样的，前者有x^3项，后者x^3项及以后的项都vanish了，但恰恰是一阶项被减掉了，分子起作用的是三阶项

那么请问一下，这道题用等价替换是在乘除中啊，为什么不可以用呢？㏑(1+1/x)~1/x

我这么说吧，如果 f(x)~g(x)，那么f(x)h(x)~g(x)h(x)，但是f(x)+h(x)~g(x)+h(x)则未必成立，而且一般不成立


其实你直接用Taylor公式就看得清楚了，像你第二个题目：
x^2 ln (1+1/x) = x^2 (1/x - 1/x^2 / 2 + o(x^2) ) = x - 1 + o(1) ，然后直接带进去就出来了

我这么说吧，如果 f(x)~g(x)，那么f(x)h(x)~g(x)h(x)，但是f(x)+h(x)~g(x)+h(x)则未必成立，而且一般不成立


其实你直接用Taylor公式就看得清楚了，像你第二个题目：
x^2 ln (1+1/x) = x^2 (1/x - 1/x^2 / 2 + o(1/x^2) ) = x - 1 + o(1) ，然后直接带进去就出来了

计算这类题目应该要知道需要精确到哪个次数

从来未爱你 绵绵 可惜我爱怀念 尤其是爱我伤心的唱片